Алгебра · 7 класс1 четвертьТема 1ГОСО РК 2026Базовый

Степень с натуральным показателем и её фундаментальные свойства

Время изучения~75 минтеория + практика

Разделы темы5 разд.пошаговый разбор

Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом

СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО

Раздел 1 из 5

Понятие степени с натуральным показателем и её компоненты

Раздел 1 из 5

Степень — это краткая математическая запись многократного умножения одного и того же числа на себя.

Определение: степенью действительного числа a с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен a:

aⁿ = a · a · ... · a (n раз).

Компоненты степени:

• Число a называют основанием степени — это повторяющийся сомножитель;

• Число n называют показателем степени — оно указывает, сколько раз основание берется множителем;

• Выражение aⁿ называют самой степенью.

Частные соглашения:

1. Степень числа с показателем 1 равна самому этому числу: a¹ = a;

2. Степень любого положительного числа всегда положительна: (+a)ⁿ > 0;

3. Степень отрицательного числа зависит от четности показателя:

• Если показатель n четный (n = 2k), степень положительна: (-2)⁴ = +16;

• Если показатель n нечетный (n = 2k + 1), степень отрицательна: (-2)³ = -8;

4. Ноль в любой натуральной степени равен нулю: 0ⁿ = 0.

ОСНОВАНИЕ a

Множитель

Число или переменная, которая умножается сама на себя n раз подряд.

ПОКАЗАТЕЛЬ n

Число повторений

Показывает количество сомножителей; в 7 классе рассматриваются натуральные числа ℕ.

Определение степениЗнак минуса в скобках

a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a (n \text{множителей}, n ∈ ℕ)

;

a^{1} = a

где a — основание степени, n — натуральный показатель степени.

Знак минуса в скобках

Внимание на скобки: (-3)² = +9, но выражение без скобок -3² = -(3²) = -9!

Раздел 2 из 5

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Раздел 2 из 5

Степени с одинаковыми основаниями подчиняются фундаментальным правилам умножения и деления.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют без изменения, а показатели степеней складывают:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

Доказательство: произведение m множителей a на n множителей a дает в итоге (m + n) множителей a.

Пример: x⁴ · x⁷ = x⁴⁺⁷ = x¹¹; 2³ · 2⁵ = 2⁸ = 256.

2. Деление степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями (при условии a ≠ 0 и m > n) основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:

a^{m} : a^{n} = a^{m} / a^{n} = a^{m-n}

Пример: y⁹ : y⁴ = y⁹⁻⁴ = y⁵; 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25.

Следствие: свойства применимы к любому количеству сомножителей: a³ · a⁵ · a² = a³⁺⁵⁺² = a¹⁰.

УМНОЖЕНИЕ aᵐ · aⁿ

Сложение показателей

Основание сохраняется, показатели складываются: m + n.

ДЕЛЕНИЕ aᵐ : aⁿ

Вычитание показателей

Основание сохраняется, из верхнего показателя вычитается нижний: m - n.

Свойства умножения и деленияТипичная ошибка

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

;

a^{m} / a^{n} = a^{m-n} (a \neq 0, m > n)

где a — любое действительное число, m и n — натуральные показатели.

Типичная ошибка

Нельзя перемножать основания при сложении показателей: 2³ · 2² = 2⁵ = 32 (но не 4⁵!).

Раздел 3 из 5

Возведение степени в степень и степени произведения/дроби

Раздел 3 из 5

Следующая группа свойств связывает степени составных выражений.

1. Возведение степени в степень:

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели степеней перемножают:

(a^{m})^{n} = a^{m} \cdot ^{n}

Пример: (x³)² = x³ · ² = x⁶; (2²)³ = 2⁶ = 64.

2. Возведение произведения в степень:

Степень произведения равна произведению степеней каждого из сомножителей:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Пример: (2x)³ = 2³ · x³ = 8x³; (-3ab)² = (-3)² · a² · b² = 9a²b².

3. Возведение дроби (частного) в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель:

\frac{a }{b}^{n} = a^{n} / b^{n} (b \neq 0)

Пример: (2/3)⁴ = 2⁴ / 3⁴ = 16/81; (x / 5)² = x² / 25.

(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ

Перемножение показателей

Степень возводится в другую степень путем умножения внешнего показателя на внутренний.

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Степень произведения

Каждый сомножитель внутри скобок возводится в степень n независимо.

Степень степени и произведенияКоэффициент в скобках

(a^{m})^{n} = a^{m} \cdot ^{n}

;

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

;

\frac{a }{b}^{n} = a^{n} / b^{n}

где a, b — числа или переменные, b ≠ 0, m и n — натуральные показатели.

Коэффициент в скобках

Частая ошибка: (3x)² = 9x² (коэффициент 3 обязательно возводится в квадрат, а не остается 3x²!).

Раздел 4 из 5

Степень с нулевым показателем и отрицательные степени

Раздел 4 из 5

Для сохранения непрерывности законов умножения и деления понятие степени было расширено за пределы натуральных чисел.

1. Степень с нулевым показателем:

Рассмотрим деление равных степеней aⁿ / aⁿ. С одной стороны, любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1: aⁿ / aⁿ = 1. С другой стороны, по правилу вычитания показателей: aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰.

Определение: любое число a, отличное от нуля (a ≠ 0), в нулевой степени равно единице:

a⁰ = 1 (при a ≠ 0).

Примеры: 5⁰ = 1; (-127)⁰ = 1; (2/3)⁰ = 1; (3x²y)⁰ = 1.

Выражение 0⁰ не имеет математического смысла (неопределенность).

2. Степень с целым отрицательным показателем:

Для любого ненулевого числа a и натурального числа n:

a^{-n} = 1 / a^{n} (a \neq 0)

Примеры: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8; 5⁻¹ = 1/5 = 0.2; (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2.25.

a⁰ = 1

Ненулевое основание

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени тождественно равно единице.

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Обратное число

Отрицательный знак в показателе «переворачивает» число в знаменатель дроби.

Нулевая и отрицательная степеньВыражение 0⁰

a^{0} = 1 (a \neq 0)

;

a^{-n} = 1 / a^{n}

;

\frac{a }{b}^{-n} = \frac{b }{a}^{n}

где a ≠ 0, b ≠ 0, n — натуральное число.

Выражение 0⁰

Ноль в нулевой степени (0⁰) не определен в школьной алгебре и считается недопустимым выражением!

Раздел 5 из 5

Стандартный вид числа и порядок величины

Раздел 5 из 5

В физике, астрономии и химии часто встречаются как колоссально огромные числа (масса Солнца M ≈ 1.989 · 10³⁰ кг), так и микроскопически малые (масса электрона m ≈ 9.11 · 10⁻³¹ кг). Для их компактной записи используют стандартный вид числа.

Определение: стандартным видом положительного числа a называют его запись в виде:

a = a_{0} \cdot 10^{n}

где 1 ≤ a₀ < 10 (число a₀ называют значащей частью числа, оно содержит ровно одну ненулевую цифру до запятой), а n — целое число (порядок числа).

Порядок числа n характеризует масштаб величины:

• Если n > 0 (положительный порядок), число очень велико: расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 км = 1.5 · 10⁸ км (порядок равен 8);

• Если n < 0 (отрицательный порядок), число очень мало: толщина мыльной пленки 0.000005 м = 5 · 10⁻⁶ м (порядок равен -6).

Алгоритм приведения числа к стандартному виду:

1. Перенести запятую так, чтобы слева от нее осталась ровно одна цифра от 1 до 9;

2. Сосчитать число позиций k, на которое сместилась запятая;

3. Записать показатель степени 10: если сдвигали влево, n = +k; если сдвигали вправо, n = -k.

МАНТИССА a₀

1 ≤ a₀ < 10

Число с одной значащей цифрой перед десятичной запятой.

ПОРЯДОК n

Масштаб 10ⁿ

Показывает количество нулей или порядок малости физической величины.

Шаг 1

Определить первую ненулевую цифру

Поставить десятичную запятую сразу после первой значащей цифры.

Шаг 2

Посчитать смещение запятой k

Определить количество знаков между старым и новым положением запятой.

Шаг 3

Записать степень 10

Если исходное число больше 10, показатель n = +k; если меньше 1, показатель n = -k.

Стандартный вид числаГраницы для a₀

a = a_{0} \cdot 10^{n}, \quad\text{где}\quad 1 \le a_{0} < 10, n ∈ ℤ

где a₀ — мантисса (значащая часть), n — порядок числа.

Границы для a₀

Значащая часть a₀ строго не может быть меньше 1 или больше либо равна 10: 25 · 10³ — НЕ стандартный вид (правильно: 2.5 · 10⁴)!

Ваш прогресс по теме25%

Прочитать конспект урокаИзучить ключевые понятияСдать проверочный тестРазобрать задачи к теме

Оглавление урока

1. Понятие степени с натуральным показателем и её компоненты~5 мин
2. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями~5 мин
3. Возведение степени в степень и степени произведения/дроби~5 мин
4. Степень с нулевым показателем и отрицательные степени~5 мин
5. Стандартный вид числа и порядок величины~5 мин

Шпаргалка формул7 класс

Произведение степеней с одинаковым основанием:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

Частное степеней с одинаковым основанием:

a^{m} / a^{n} = a^{m-n}

Возведение степени в степень:

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Степень произведения:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Следующая тема

Одночлены. Стандартный вид одночлена и арифметические действия

Перейти к теме →