ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Формулы сокращенного умножения: квадраты суммы, разности и разность квадратов
Алгебра · 7 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Умножение одночлена на многочлен и умножение многочленов

Умножение одночлена на многочлен и умножение многочленов

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Распределительное свойство и умножение одночлена на многочлен

Умножение одночлена на многочлен опирается на фундаментальный распределительный закон умножения относительно сложения:

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c.

Правило умножения одночлена на многочлен:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить с учетом знаков:

m⋅(a+b−c)=m⋅a+m⋅b−m⋅cm \cdot (a + b - c) = m \cdot a + m \cdot b - m \cdot c.

Примеры:

1.3x⋅(2x2−5x+4)=3x⋅2x2−3x⋅5x+3x⋅4=6x3−15x2+12x1\text{.} 3x \cdot (2x^{2} - 5x + 4) = 3x \cdot 2x^{2} - 3x \cdot 5x + 3x \cdot 4 = 6x^{3} - 15x^{2} + 12x;
2.−2a2b⋅(3a−4b+1)=−2a2b⋅3a−2a2b⋅(−4b)−2a2b⋅1=−6a3b+8a2b2−2a2b2\text{.} -2a{}^{2}\text{b} \cdot (3a - 4b + 1) = -2a{}^{2}\text{b} \cdot 3a - 2a{}^{2}\text{b} \cdot (-4b) - 2a{}^{2}\text{b} \cdot 1 = -6a{}^{3}\text{b} + 8a{}^{2}\text{b}^{2} - 2a{}^{2}\text{b};

Это правило позволяет раскрывать скобки в уравнениях и алгебраических выражениях любой сложности.

ФОНТАНЧИК

a(b + c) = ab + ac

Наглядный метод последовательного умножения внешнего множителя на каждый член внутри скобок.
УЧЕТ ЗНАКОВ

Минус на минус = плюс

При умножении отрицательного одночлена знаки всех слагаемых в скобках меняются.
Распределительный законУмножение на каждый член
a⋅(b+c+d)=a⋅b+a⋅c+a⋅da \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d
где a — одночлен, (b + c + d) — многочлен.
Умножение на каждый член
Одночлен обязан умножаться на ВСЕ слагаемые без исключения: 2(x + 3) = 2x + 6 (не 2x + 3!).
Раздел 2 из 5
2

Умножение многочлена на многочлен

Правило умножения двух многочленов обобщает распределительное свойство.

Правило умножения многочлена на многочлен:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить:

(a+b)⋅(c+d)=a⋅c+a⋅d+b⋅c+b⋅d(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d.

Если перемножаются многочлены из m и n слагаемых, то до приведения подобных членов получается ровно m · n слагаемых.

Алгоритм перемножения многочленов:

1. Взять первый член первого многочлена и умножить его по очереди на все члены второго многочлена;

2. Взять второй член первого многочлена и аналогично умножить на все члены второго;

3. Повторить операцию для всех оставшихся членов первого многочлена;

4. Сложить полученные одночлены и обязательно привести подобные члены.

Пример:

(2x−3)(3x+4)=2x⋅3x+2x⋅4−3⋅3x−3⋅4(2x - 3)(3x + 4) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot 4

= 6x² + 8x - 9x - 12

= 6x² - x - 12.

(a+b)(c+d)

Каждый на каждый

Каждое слагаемое первой скобки перемножается с каждым слагаемым второй скобки.
ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ

Финальный шаг

Обязательное объединение членов одинаковой степени после раскрытия скобок.
Раздел 3 из 5
3

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки — операция, обратная умножению одночлена на многочлен:

a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c)a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c).

Это один из важнейших способов разложения многочленов на множители.

Алгоритм нахождения общего множителя:

1. Для числовых коэффициентов: найти наибольший общий делитель (НОД) модулей всех коэффициентов;

2. Для буквенных переменных: найти переменные, входящие в КАЖДЫЙ член многочлена, и выбрать для каждой наименьший из имеющихся показателей степени;

3. Составить общий одночлен-множитель и вынести его за скобки;

4. В скобках записать частные от деления каждого члена исходного многочлена на вынесенный общий множитель.

Примеры:

1. 6x³ - 9x² = 3x² · (2x - 3) (НОД(6, 9) = 3, наименьшая степень x — это x²);

2.4a2b3+8a3b2−12a2b=4a2b⋅(b2+2ab−3)2\text{.} 4a{}^{2}\text{b}^{3} + 8a{}^{3}\text{b}^{2} - 12a{}^{2}\text{b} = 4a{}^{2}\text{b} \cdot (b^{2} + 2ab - 3);

3. Вынесение знака минус: -a - b = -(a + b); 5 - x = -(x - 5).

НОД КОЭФФИЦИЕНТОВ

Числовой множитель

Наибольшее число, на которое делятся все числовые коэффициенты слагаемых.
МИН. ПОКАЗАТЕЛЬ

Буквенный множитель

Общая буква выносится строго с наименьшим из встречающихся показателей степеней.
Вынесение за скобкиЕдиница в скобках
a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c)a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c);
a−b=−(b−a)a - b = -(b - a)
где a — общий множитель (число, одночлен или составное выражение).
Единица в скобках
Если член делится на себя, в скобках ОБЯЗАТЕЛЬНО остается 1: 5x + 5 = 5(x + 1), а не 5x!
Раздел 4 из 5
4

Деление многочлена на одночлен

Правило деления многочлена на одночлен непосредственно следует из дистрибутивности:

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и сложить полученные результаты:

(a+b−c):m=(a:m)+(b:m)−(c:m)(m≠0)(a + b - c) : m = (a : m) + (b : m) - (c : m) (m \neq 0).

Деление многочлена на одночлен выполняется нацело (дает в результате многочлен), если каждый член многочлена делится на этот одночлен нацело.

Примеры:

1.(15x4−20x3+5x2):(5x2)=(15x4:5x2)−(20x3:5x2)+(5x2:5x2)=3x2−4x+11\text{.} (15x^{4} - 20x^{3} + 5x^{2}) : (5x^{2}) = (15x^{4} : 5x^{2}) - (20x^{3} : 5x^{2}) + (5x^{2} : 5x^{2}) = 3x^{2} - 4x + 1;
2.(12a3b2−8a2b3):(−4ab)=(12a3b2:−4ab)−(8a2b3:−4ab)=−3a2b+2ab22\text{.} (12a{}^{3}\text{b}^{2} - 8a{}^{2}\text{b}^{3}) : (-4ab) = (12a{}^{3}\text{b}^{2} : -4ab) - (8a{}^{2}\text{b}^{3} : -4ab) = -3a{}^{2}\text{b} + 2ab^{2}.
ПОЧЛЕННОЕ ДЕЛЕНИЕ

(A + B) / M = A/M + B/M

Каждое слагаемое многочлена делится на делитель независимо.
ПРОВЕРКА 5x²/5x² = 1

Остаток единица

Не теряйте единицу при делении равных членов!
Раздел 5 из 5
5

Применение умножения многочленов к решению уравнений

Умножение одночленов и многочленов широко применяется для решения линейных и сводящихся к линейным уравнений.

Алгоритм решения уравнений с раскрытием скобок:

1. Раскрыть скобки, умножив одночлены на многочлены и многочлены на многочлены;

2. Привести подобные слагаемые в обеих частях уравнения;

3. Перенести члены с неизвестной переменной в левую часть уравнения, а свободные числа — в правую часть (меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные);

4. Привести подобные члены в левой и правой частях, приведя уравнение к виду ax = b;

5. Найти корень уравнения: x = b / a (при a ≠ 0).

Пример: решить уравнение (x - 2)(x + 3) - x² = 4.

Раскрываем скобки: x² + 3x - 2x - 6 - x² = 4.

Приводим подобные: x - 6 = 4 → x = 4 + 6 → x = 10.

УРАВНЕНИЕ

Линейный вид ax = b

Раскрытие скобок переводит сложные выражения в простое линейное уравнение.
ВЗАИМНОЕ УНИЧТОЖЕНИЕ

x² - x² = 0

Квадратичные члены часто взаимно уничтожаются, сводя задачу к линейной.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул7 класс
Произведение степеней с одинаковым основанием:
am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}
Частное степеней с одинаковым основанием:
am/an=am−na^{m} / a^{n} = a^{m-n}
Возведение степени в степень:
(am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}
Степень произведения:
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}
Следующая тема

Формулы сокращенного умножения: квадраты суммы, разности и разность квадратов

Перейти к теме →