ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Алгебра · 9 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Арифметическая прогрессия и n-й член

Определение арифметической прогрессии, разность d, формула n-го члена и характеристическое свойство.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение арифметической прогрессии и разность d

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность (aₙ), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным числом d: aₙ₊₁ = aₙ + d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Разность можно найти как разность любых двух соседних членов: d = aₙ₊₁ - aₙ. Если d > 0, прогрессия возрастает; если d < 0, прогрессия убывает; если d = 0, прогрессия стационарна (все члены одинаковы).

aₙ₊₁ = aₙ + d

Определение прогрессии

Постоянный линейный прирост каждого последующего шага.
d = aₙ₊₁ - aₙ

Разность d

Шаг прогрессии: может быть положительным, отрицательным или нулем.

Линейный закон роста

Арифметическая прогрессия является дискретным аналогом линейной функции y = kx + b, где роль углового коэффициента k играет разность d.

Шаг 1
Нахождение разности d
Вычитают первый член из второго: d = a₂ - a₁.
Шаг 2
Проверка условия прогрессии
Убеждаются, что a₃ - a₂ = d.
Шаг 3
Определение характера
Фиксируют возрастание (d > 0) или убывание (d < 0).
Рекуррентное соотношение прогрессии
an+1=an+da_{n+1} = a_n + d;
d=a2−a1=a3−a2=⋯=an+1−and = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots = a_{n+1} - a_n
Раздел 2 из 5
2

2. Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии

Чтобы найти n-й член прогрессии без последовательного суммирования всех предыдущих, используют формулу n-го члена: aₙ = a₁ + d(n - 1). Из первого члена a₁ мы прибавляем разность d ровно (n - 1) раз, чтобы дойти до aₙ. В более общем виде, если известны любые два члена aₙ и aₖ (где n > k), справедливо равенство aₙ = aₖ + d(n - k), откуда разность прогрессии выражается как d = (aₙ - aₖ) / (n - k).

aₙ = a₁ + d(n - 1)

Формула n-го члена

Главная расчетная формула арифметической прогрессии.
d = (aₙ - aₖ)/(n - k)

Связь произвольных членов

Нахождение разности через любые два удаленных члена.

Множитель (n - 1)

Частая ошибка — умножать d на n вместо (n - 1). Помните: чтобы попасть с 1-го этажа на n-й, нужно пройти (n - 1) лестничных пролетов.

Шаг 1
Выделение a₁ и d
Записывают значения первого члена и шага d.
Шаг 2
Подстановка номера n
Вместо n подставляют искомый номер.
Шаг 3
Арифметический расчет
Вычисляют произведение d(n - 1) и прибавляют a₁.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d;
an=ak+(n−k)da_n = a_k + (n - k)d
Раздел 3 из 5
3

3. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 для любого n ≥ 2. Отсюда и произошло историческое название — арифметическая прогрессия. Более того, для любых членов, равноотстоящих от aₙ, выполняется равенство: aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2.

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2

Характеристическое свойство

Каждый элемент равен полусумме соседей.
Равноотстоящие члены

Симметрия

aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ = 2aₙ для любых допустимых k.

Применение в задачах с неизвестным x

Если даны три выражения, образующие прогрессию, составьте уравнение: удвоенное среднее равно сумме крайних: 2x₂ = x₁ + x₃.

Шаг 1
Запись крайних и среднего
Обозначают три последовательных члена aₙ₋₁, aₙ, aₙ₊₁.
Шаг 2
Составление равенства
Приравнивают 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁.
Шаг 3
Решение уравнения
Находят неизвестный параметр.
Характеристическое тождество
2an=an−1+an+1,∀n≥22a_n = a_{n-1} + a_{n+1}, ∀ n \ge 2
Раздел 4 из 5
4

4. Проверка принадлежности числа прогрессии

Частая типовая задача — выяснить, является ли заданное число C членом данной арифметической прогрессии (aₙ). Для этого число C приравнивают к формуле общего члена: a₁ + d(n - 1) = C и решают линейное уравнение относительно n: n = (C - a₁) / d + 1. Число C является членом прогрессии тогда и только тогда, когда полученное n является натуральным числом (n ∈ ℕ, то есть n > 0 и n целое).

n ∈ ℕ

Критерий принадлежности

Номер n обязан быть строго натуральным (целым положительным).
Дробный n

Отрицательный ответ

Если n не целое, число C не содержится в данной прогрессии.

Положительность и целостность

Если вы получили n = -5 или n = 7.4, такое число членом прогрессии не является: номера начинаются строго с 1 и являются целыми.

Шаг 1
Составление уравнения
Приравнивают a₁ + (n - 1)d = C.
Шаг 2
Нахождение n
Выражают и вычисляют n.
Шаг 3
Проверка принадлежности к ℕ
Делают вывод о принадлежности числа C прогрессии.
Формула вычисления номера члена
n=an−a1d+1,проверка:n∈1,2,3,…n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1, \text{проверка}: n ∈ {1, 2, 3, \dots }
Раздел 5 из 5
5

5. Графическая интерпретация арифметической прогрессии

Формулу n-го члена можно переписать в виде aₙ = dn + (a₁ - d). Это линейное выражение вида y = kx + b, где аргументом служит n ∈ ℕ, а угловым коэффициентом — разность d. Поэтому точки графика любой арифметической прогрессии (n; aₙ) лежат строго на одной прямой с угловым коэффициентом k = d. Если d > 0, прямая идет вверх; если d < 0, прямая идет вниз; если d = 0, точки лежат на горизонтальной прямой.

y = dn + b

Линейный закон

Точки дискретного графика лежат строго на одной прямой.
k = d

Тангенс наклона

Разность d определяет крутизну наклона прямой.

Равномерный шаг по оси абсцисс

Так как шаг по горизонтали между точками постоянен (Δn = 1), шаг по вертикали тоже строго постоянен: Δa = d.

Шаг 1
Разметка осей n и aₙ
По оси абсцисс отмечают натуральные номера 1, 2, 3...
Шаг 2
Нанесение точек
Отмечают координаты (1; a₁), (2; a₂), (3; a₃)...
Шаг 3
Проведение опорной прямой
Убеждаются, что линейка проходит через все нанесенные точки.
Линейная форма общего члена
an=d⋅n+(a1−d)a_n = d \cdot n + (a_1 - d);
k=d,b=a1−dk = d, b = a_1 - d
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)a_{n} = a_{1} + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
an=an−1+an+12a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=(a1+an2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nS_{n} = (\frac{a_{1} + a_{n}}{2}) \cdot n = ((2a_{1} + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Перейти к теме →