ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Неравенства с двумя переменными и их системы
Алгебра · 8 класс4 четвертьТема 10ГОСО РК 2026Базовый

Элементы математической статистики

Статистические выборки, таблицы частот, полигоны, гистограммы, дисперсия и стандартное отклонение.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Генеральная совокупность, выборка и репрезентативность

Статистика занимается сбором, обработкой и анализом данных о массовых явлениях. Генеральной совокупностью называют все множество исследуемых объектов (например, все школьники Казахстана). Поскольку обследовать каждого представителя генеральной совокупности часто невозможно или слишком дорого, отбирают часть объектов — выборку. Чтобы выводы по выборке отражали реальное положение дел во всей генеральной совокупности, выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть объекты должны отбираться случайно и в достаточных пропорциях.

Генеральная совокупность

Полный массив

Полный объем всех элементов исследуемой системы.
Выборка N

Подмножество объектов

Группа элементов, отобранных для непосредственного замера.

Случайный отбор

Главное условие репрезентативности — равная вероятность попадания любого элемента генеральной совокупности в выборку.

Шаг 1
Определение цели исследования
Формулируют исследуемый признак (рост, оценка, время).
Шаг 2
Формирование выборки
Производят случайный сбор данных объема N.
Шаг 3
Первичный просмотр
Фиксируют исходный вариационный ряд.
Объем выборки
N=n1+n2+⋯+nk,гдеni — абсолютная частотаi−й вариантыN = n_1 + n_2 + \dots + n_k, \quad\text{где}\quad n_i \text{ — } \text{абсолютная частота} i-\text{й варианты}
Раздел 2 из 5
2

2. Вариационный ряд, абсолютная и относительная частоты

Первичные данные упорядочивают по возрастанию, получая ранжированный (вариационный) ряд. Каждое отдельное значение признака называют вариантой xᵢ. Число раз, которое варианта xᵢ встречается в выборке, называют её абсолютной частотой nᵢ. Относительной частотой wᵢ называют отношение абсолютной частоты к общему объему выборки: wᵢ = nᵢ / N (или в процентах: wᵢ · 100%). Сумма абсолютных частот всегда равна объему выборки N, а сумма относительных частот равна 1 (или 100%).

nᵢ

Абсолютная частота

Количество повторений данного значения xᵢ в выборке.
wᵢ = nᵢ / N

Относительная частота

Доля данного значения в общем объеме данных (∑ wᵢ = 1).

Самопроверка таблицы частот

Всегда суммируйте найденные относительные частоты: если их сумма отличается от 1 (с поправкой на погрешность округления), в расчетах допущена ошибка.

Шаг 1
Ранжирование данных
Записывают значения выборки в порядке неубывания.
Шаг 2
Подсчет повторов
Определяют частоту nᵢ для каждого уникального xᵢ.
Шаг 3
Составление таблицы частот
Заполняют строки: xᵢ, nᵢ и wᵢ = nᵢ / N.
Условие нормировки частот
∑i=1kni=N∑_{i=1}^k n_i = N;
∑i=1kwi=1(или 100%)∑_{i=1}^k w_i = 1 (\text{или }100\%)
Раздел 3 из 5
3

3. Графическое представление: полигон и гистограмма частот

Для наглядности статистические данные визуализируют. Полигон частот строят для дискретных величин: на оси абсцисс отмечают варианты xᵢ, на оси ординат — соответствующие частоты nᵢ (или wᵢ), после чего полученные точки соединяют отрезками ломаной. Для непрерывных величин (время, масса, длина) применяют интервальный ряд и строят гистограмму — ступенчатую фигуру из примыкающих друг к другу прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы [a; b], а высоты пропорциональны плотности частоты.

Полигон частот

Ломаная линия

График дискретного статистического распределения.
Гистограмма

Столбчатая диаграмма интервалов

Площадь каждого столбца пропорциональна частоте интервала.

Отличие гистограммы от столбчатой диаграммы

В гистограмме непрерывного ряда столбики плотно прижаты друг к другу без зазоров, так как конец одного интервала служит началом следующего.

Шаг 1
Разметка координатных осей
Наносят значения варианты по оси Ox и шкалу частот по оси Oy.
Шаг 2
Нанесение узловых точек
Отмечают координаты (xᵢ; nᵢ).
Шаг 3
Построение фигуры
Соединяют точки отрезками (полигон) или возводят столбики (гистограмма).
Шаг интервала для гистограммы
h=xmax−xminm,гдеm — выбранное число классовh = \frac{x_{max} - x_{min}}{m}, \quad\text{где}\quad m \text{ — } \text{выбранное число классов}
Раздел 4 из 5
4

4. Характеристики положения: среднее, мода, медиана, размах

Центральную тенденцию ряда описывают числовые характеристики: 1) Выборочное среднее x̄ — среднее арифметическое всех значений с учетом их частот: x̄ = (∑ xᵢ nᵢ) / N. 2) Мода (Mo) — наиболее часто встречающееся значение выборки (значение с наибольшей частотой). 3) Медиана (Me) — серединное значение ранжированного ряда (делит упорядоченный ряд пополам). 4) Размах выборки R — разность между наибольшим и наименьшим значениями: R = xmax - xmin.

x̄

Выборочное среднее

Центр массы числовых данных: (∑ xᵢ · nᵢ) / N.
Mo и Me

Мода и Медиана

Мода — самый частый элемент; медиана — значение точно посередине ряда.

Устойчивость медианы к выбросам

Если в выборке есть аномально большие выбросы (например, доходы миллионера среди обычных граждан), среднее резко искажается, а медиана остается устойчивой и объективной.

Шаг 1
Упорядочение ряда
Ранжируют числа по возрастанию.
Шаг 2
Нахождение Mo и Me
Находят максимум частоты (Mo) и срединный элемент (Me).
Шаг 3
Расчет x̄ и R
Вычисляют среднее арифметическое и размах R = xmax - xmin.
Формула взвешенного выборочного среднего
xˉ=x1n1+x2n2+⋯+xknkN=∑i=1kxiwix̄ = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{N} = ∑_{i=1}^k x_i w_i
Раздел 5 из 5
5

5. Меры рассеяния: дисперсия и стандартное отклонение

Два ряда могут иметь одинаковое среднее, но принципиально разный разброс (например: 9, 10, 11 и 0, 10, 20 имеют среднее 10). Для оценки рассеяния вокруг среднего используют дисперсию D (или s²). Выборочная дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от выборочного среднего: s² = (∑ (xᵢ - x̄)² nᵢ) / N. Стандартным (среднеквадратичным) отклонением s называют квадратный корень из дисперсии: s = √s². Оно измеряется в тех же единицах, что и исходная величина.

s² (дисперсия)

Квадратичный разброс

s² = (∑ (xᵢ - x̄)² · nᵢ) / N — средний квадрат отклонений.
s = √s²

Стандартное отклонение

Показывает среднюю величину отклонения данных от центра в исходных единицах.

Почему берут квадраты отклонений

Простая сумма отклонений (xᵢ - x̄) всегда равна нулю из-за взаимного уничтожения положительных и отрицательных разностей. Возведение в квадрат устраняет знаки.

Шаг 1
Вычисление x̄
Находят среднее значение выборки.
Шаг 2
Расчет квадратов отклонений
Для каждой варианты находят (xᵢ - x̄)².
Шаг 3
Взвешивание и извлечение корня
Умножают на nᵢ, суммируют, делят на N и извлекают корень s = √s².
Формулы дисперсии и стандартного отклонения
s2=1N∑i=1k(xi−xˉ)2⋅nis^{2} = \frac{1}{N} ∑_{i=1}^k (x_i - x̄)^{2} \cdot n_i;
s=s2s = \sqrt{s^{2}}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Арифметический квадратный корень:
a=b  ⟺  b2=a,b≥0\sqrt{a} = b \iff b^{2} = a, b \ge 0
Корень из квадрата (тождество с модулем):
a2=∣a∣\sqrt{a^{2}} = |a|
Корень из произведения и дроби:
a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
Дискриминант квадратного трехчлена:
D=b2−4acD = b^{2} - 4ac
Следующая тема

Неравенства с двумя переменными и их системы

Перейти к теме →