ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Переменный электрический ток. Сопротивления в цепи. Трансформаторы
Физика · 11 класс2 четвертьТема 1Лабораторная работаГОСО РК 2026Углубленный

Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Формула Томсона

Свободные электромагнитные колебания. Идеальный LC-контур. Период свободных колебаний — формула Томсона: T = 2π√(L C). Циклическая частота: ω₀ = 1 / √(L C). Превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки: qm2 / (2C) = (L Im2) / 2. Затухающие колебания.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре

Колебательный контур — простейшая замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Если активное сопротивление проводов пренебрежимо мало (R ≈ 0), контур называется идеальным LC-контуром.

Механизм возникновения электромагнитных колебаний:

1. Начальный момент (t = 0): конденсатор заряжен до максимального напряжения Umax, заряд обкладок qmax. Вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора: W = Wэ = (C · Umax2) / 2, ток в цепи i = 0;

2. Четверть периода (t = T/4): конденсатор полностью разряжается через катушку (q = 0, u = 0). Ток в катушке нарастает до максимального значения Imax. Вся энергия переходит в магнитное поле катушки: W = Wм = (L · Imax2) / 2;

3. Половина периода (t = T/2): ЭДС самоиндукции катушки поддерживает ток, перезаряжая конденсатор зарядом противоположного знака: q = -qmax, ток i = 0. Энергия снова сосредоточена в электрическом поле;

4. Три четверти периода (t = 3T/4): конденсатор снова разряжается, ток течет в противоположном направлении, достигая максимума: i = -Imax;

5. Полный период (t = T): система возвращается в исходное состояние, и цикл непрерывно повторяется.

СМЕНА ФАЗ

Четверть периода T/4

Энергия периодически перекачивается из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки.
СДВИГ ФАЗ НА π/2

Ток и заряд

Ток i(t) опережает заряд q(t) на 90°: когда заряд максимален, ток равен 0, и наоборот.
Раздел 2 из 5
2

Дифференциальное уравнение колебательного контура и гармонические законы

Для идеального LC-контура сумма напряжений на конденсаторе uC = q / C и на катушке uL = - εsi = L · (di / dt) равна нулю:

qC+L⋅didt=0\frac{q }{C }+ L \cdot \frac{di }{dt} = 0.

Поскольку сила тока равна первой производной от заряда по времени i = dq / dt = q', то di / dt = q'' — вторая производная от заряда по времени.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний:

q'' + (1 / (L · C)) · q = 0 или q'' + ω₀² · q = 0,

где ω₀ = 1 / √(L · C) — собственная циклическая частота колебаний контура.

Решение уравнения дает гармонические законы изменения величин:

1. Заряд конденсатора:

q(t)=qmax⋅cos(ω0⋅t)q(t) = q_{\text{max}} \cdot cos(ω_{0} \cdot t);

2. Напряжение между обкладками:

u(t) = q(t) / C = Umax · cos(ω₀ · t), где Umax = qmax / C;

3. Сила электрического тока в контуре:

i(t)=q′(t)=−qmax⋅ω0⋅sin(ω0⋅t)=−Imax⋅sin(ω0⋅t)=Imax⋅cos(ω0⋅t+π2)i(t) = q'(t) = - q_{\text{max}} \cdot ω_{0} \cdot sin(ω_{0} \cdot t) = - I_{\text{max}} \cdot sin(ω_{0} \cdot t) = I_{\text{max}} \cdot cos(ω_{0} \cdot t + \frac{\pi }{2}),

где Imax = qmax · ω₀ — амплитудное значение силы тока.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ЗАКОН

Синус и косинус

Заряд и ток совершают идеальные синусоидальные колебания с собственной частотой ω₀.
АМПЛИТУДА ТОКА

Imax = qmax · ω₀

Максимальный ток пропорционален максимальному заряду и быстроте колебаний.
Уравнения колебаний контураСвязь амплитуд
q(t)=qmax⋅cos(ω0t)q(t) = q_{\text{max}} \cdot cos(ω_{0}t);
i(t)=−Imax⋅sin(ω0t)i(t) = - I_{\text{max}} \cdot sin(ω_{0}t);
Imax=qmax⋅ω0I_{\text{max}} = q_{\text{max}} \cdot ω_{0};
ω0=1/L⋅Cω_{0} = 1 / \sqrt{L \cdot C}
где q — заряд (Кл), i — ток (А), ω₀ — циклическая частота (рад/с), L — индуктивность (Гн), C — емкость (Ф).
Связь амплитуд
Амплитуда тока Imax ВСЕГДА связана с амплитудой заряда через циклическую частоту: Imax = qmax · ω₀!
Раздел 3 из 5
3

Формула Томсона для периода и частоты собственных колебаний

Связь периода электромагнитных колебаний с циклической частотой задается соотношением: T = 2π / ω₀.

Подставляя циклическую частоту ω₀ = 1 / √(L · C), получаем фундаментальную формулу Томсона.

Формула Томсона (выведена лордом Кельвином — Уильямом Томсоном в 1853 г.):

Период свободных гармонических электромагнитных колебаний в идеальном контуре равен:

T=2π⋅L⋅CT = 2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}.

Линейная частота собственных колебаний (ν — число полных колебаний в 1 секунду):

ν=1T=1/(2π⋅L⋅C) \nu = \frac{1 }{T }= 1 / (2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}).

В Международной системе СИ частота измеряется в Герцах (Гц).

Закономерности формулы Томсона:

• При увеличении емкости конденсатора C в 4 раза период колебаний T возрастает ровно в 2 раза, а частота ν падает в 2 раза;

• При увеличении индуктивности катушки L в 9 раз период T возрастает в 3 раза;

• Для настройки радиоприемника на нужную радиостанцию вращают ручку переменного конденсатора (вариометра), изменяя емкость C и согласуя частоту контура ν с частотой передатчика.

ПЕРИОД ТОМСОНА

T = 2π√(LC)

Определяет время одного полного колебательного цикла в секундах.
РЕГУЛИРОВКА ЧАСТОТЫ

Настройка приемника

Изменение зазора или площади пластин конденсатора C перестраивает частоту приема станций.
Шаг 1
Перевести параметры L и C в СИ
Перевести миллигенри (10⁻³ Гн) или микрофарады (10⁻⁶ Ф) в основные единицы.
Шаг 2
Рассчитать период по формуле Томсона
Вычислить T = 2π · √(L · C).
Шаг 3
Найти частоту колебаний ν = 1 / T
Разделить единицу на полученный период для нахождения частоты в Гц.
Формула ТомсонаКвадратный корень
T=2π⋅L⋅CT = 2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C};
ν=1T=1/(2π⋅L⋅C) \nu = \frac{1 }{T }= 1 / (2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C});
ω0=2π⋅ν=1/L⋅Cω_{0} = 2 \pi \cdot \nu = 1 / \sqrt{L \cdot C}
где T — период колебаний (с), ν — частота (Гц), L — индуктивность (Гн), C — электроемкость (Ф).
Квадратный корень
Период зависит от индуктивности и емкости ПОД КОРНЕМ: чтобы удвоить период, произведение L·C нужно увеличить в 4 раза!
Раздел 4 из 5
4

Превращения и сохранение энергии в колебательном контуре

В идеальном колебательном контуре (при сопротивлении R = 0) потери энергии на джоулево тепло отсутствуют. Полная электромагнитная энергия системы сохраняется неизменной во времени (закон сохранения энергии):

Wполн = Wэ(t) + Wм(t) = const.

Энергетические составляющие в произвольный момент времени t:

• Энергия электрического поля конденсатора: Wэ(t) = q(t)² / (2C) = (C · u(t)²) / 2;

• Энергия магнитного поля катушки: Wм(t) = (L · i(t)²) / 2.

Подставляя гармонические функции q(t) = qmax · cos(ω₀t) и i(t) = - Imax · sin(ω₀t):

Wполн = (qmax2 / (2C)) · cos²(ω₀t) + ((L · Imax2) / 2) · sin²(ω₀t).

Поскольку полная энергия постоянна, амплитудные значения энергий обязаны быть равны между собой:

Wmax(э) = Wmax(м) = Wполн:

qmax2/(2C)=C⋅Umax22=L⋅Imax22q_{\text{max}}^{2} / (2C) = \frac{C \cdot U_{\text{max}}^{2}}{2} = \frac{L \cdot I_{\text{max}}^{2}}{2}.

Связь амплитуд напряжения и силы тока:

C⋅Umax22=L⋅Imax22→Imax=Umax⋅√CL\frac{C \cdot U_{\text{max}}^{2}}{2} = \frac{L \cdot I_{\text{max}}^{2}}{2} \to I_{\text{max}} = U_{\text{max}} \cdot √\frac{C }{L}.

Величина ρ = √(L / C) называется волновым (характеристическим) сопротивлением колебательного контура (Ом).

Частота колебаний энергии: энергия поля пульсирует с удвоенной частотой по сравнению с колебаниями заряда и тока: νэнергии = 2 · ν0, так как за один период T энергия дважды превращается в электрическую и дважды в магнитную.

W = const

Идеальный контур

Сумма электрической и магнитной энергии остается строго постоянной в любой момент времени.
Imax = Umax √(C/L)

Связь амплитуд

Позволяет мгновенно находить максимальный ток по максимальному напряжению на емкости.
Закон сохранения энергии в LCУдвоенная частота энергии
Wполн=C⋅Umax22=qmax2/(2C)=L⋅Imax22=Wэ+Wм=constW_{\text{полн}} = \frac{C \cdot U_{\text{max}}^{2}}{2} = q_{\text{max}}^{2} / (2C) = \frac{L \cdot I_{\text{max}}^{2}}{2} = W_{\text{э}} + W_{\text{м}} = \text{const}
где Wполн — полная электромагнитная энергия (Дж), Umax — амплитуда напряжения (В), Imax — амплитуда силы тока (А).
Удвоенная частота энергии
Энергия электрического и магнитного полей совершает колебания с удвоенной частотой: ωw = 2 · ω₀!
Раздел 5 из 5
5

Затухающие колебания и автоколебательный генератор на транзисторе

1. Затухающие колебания в реальном контуре:

В любом реальном контуре провода и катушка обладают активным электрическим сопротивлением (R > 0). При протекании тока часть энергии непрерывно превращается в теплоту Джоуля — Ленца: Q = I² · R · t.

Амплитуда колебаний заряда, напряжения и тока экспоненциально уменьшается со временем — колебания являются затухающими. Чем больше сопротивление R, тем быстрее затухают колебания (при критическом сопротивлении Rкр = 2√(L/C) колебательный процесс прекращается вовсе, переходя в апериодический разряд).

2. Незатухающие автоколебания (генератор на транзисторе):

Чтобы получить незатухающие электромагнитные колебания постоянной амплитуды, необходимо периодически восполнять потери энергии в контуре от внешнего источника постоянного тока в строгом согласии с фазой колебаний.

Элементы автоколебательной системы:

• Колебательная система — LC-контур, задающий частоту собственных колебаний ω₀;

• Источник энергии — батарея или источник постоянного напряжения;

• Клапан — биполярный или полевой транзистор, открывающий доступ энергии порциями в контур;

• Канал обратной связи — катушка обратной связи (индуктивная связь), управляющая базой транзистора в нужные моменты времени (положительная обратная связь).

ЗАТУХАНИЕ

Тепловые потери R

Омическое сопротивление катушки рассеивает электромагнитную энергию в джоулево тепло.
ТРАНЗИСТОРНЫЙ ГЕНЕРАТОР

Автоколебания

Транзистор с индуктивной обратной связью генерирует радиосигналы стабильной амплитуды и частоты.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Сила Ампера:
FA=I⋅B⋅L⋅sinαF_A = I \cdot B \cdot L \cdot sin α
[Н]
Сила Лоренца:
FЛ=∣q∣⋅v⋅B⋅sinαF_{\text{Л}} = |q| \cdot v \cdot B \cdot sin α
[Н]
Радиус кривизны частицы в поле:
R=m⋅v∣q∣⋅BR = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B}
[м]
Магнитный поток:
Φ=B⋅S⋅cosα \Phi = B \cdot S \cdot cos α
[Вб]
Следующая тема

Переменный электрический ток. Сопротивления в цепи. Трансформаторы

Перейти к теме →