ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Квадратные уравнения: неполные уравнения и формула корней
Алгебра · 8 класс1 четвертьТема 2ГОСО РК 2026Базовый

Свойства арифметического квадратного корня и преобразование корней

Свойства арифметического квадратного корня и преобразование корней

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Корень из произведения и произведение корней

Теорема о корне из произведения:

Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел:

√(a · b) = √a · √b (при a ≥ 0, b ≥ 0).

Доказательство опирается на определение корня:

(√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = a · b. Так как √a ≥ 0 и √b ≥ 0, то их произведение неотрицательно, что доказывает теорему.

Теорема верна для любого числа неотрицательных сомножителей:

a⋅b⋅c=a⋅b⋅c\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}.

Обратное свойство (умножение корней):

a⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}.

Примеры вычислений:

1.64⋅25=64⋅25=8⋅5=401\text{.} \sqrt{64 \cdot 25} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{25} = 8 \cdot 5 = 40;
2.8⋅18=8⋅18=144=122\text{.} \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12;
3.50⋅2=50⋅2=100=103\text{.} \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{50 \cdot 2} = \sqrt{100} = 10.
√(ab) = √a · √b

Разбиение корня

Корень от произведения вычисляется по отдельности для каждого сомножителя.
√a · √b = √(ab)

Объединение корней

Произведение двух «неудобных» корней дает красивый точный квадрат под общим корнем.
Корень из произведенияКорень из суммы
a⋅b=a⋅b(a≥0,b≥0)\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0);
a⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}
работает ТОЛЬКО для умножения (для сложения √(a+b) ≠ √a + √b!).
Корень из суммы
Грубейшая ошибка: √(9 + 16) ≠ √9 + √16! √(9+16) = √25 = 5, а 3+4 = 7!
Раздел 2 из 5
2

Корень из дроби (частного)

Теорема о корне из дроби:

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя:

√(a / b) = √a / √b (при a ≥ 0, b > 0).

Обратное свойство (деление корней):

a/b=√ab\sqrt{a} / \sqrt{b} = √\frac{a }{b}.

Примеры вычислений:

1.√4981=49/81=791\text{.} √\frac{49}{81} = \sqrt{49} / \sqrt{81} = \frac{7}{9};
2.75/3=√753=25=52\text{.} \sqrt{75} / \sqrt{3} = √\frac{75}{3} = \sqrt{25} = 5;

3. Смешанные дроби обязательно переводят в неправильные дроби перед извлечением корня:

√(1 9/16) = √(25 / 16) = √25 / √16 = 5/4 = 1.25 (нельзя извлекать отдельно из целой части!).

√(a/b) = √a / √b

Деление корней

Корень из дроби равен отношению корней числителя и знаменателя.
НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ

Подготовка к корню

Смешанное число a b/c обязано быть переведено в дробь перед извлечением радикала.
Корень из дробиСмешанные числа
√ab=a/b(a≥0,b>0)√\frac{a }{b} = \sqrt{a} / \sqrt{b} (a \ge 0, b > 0);
a/b=√ab\sqrt{a} / \sqrt{b} = √\frac{a }{b}
где a ≥ 0, b > 0.
Смешанные числа
Никогда не извлекайте корень из целой части: √(1 9/16) ≠ 1 3/4! Сначала переведите в 25/16!
Раздел 3 из 5
3

Корень из степени и фундаментальное тождество √(a²) = |a|

Теорема о корне из четной степени:

Для любого действительного числа a (положительного, нуля или отрицательного!):

a2=∣a∣\sqrt{a^{2}} = |a|.

Физический смысл модуля:

Поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным по определению (√a ≥ 0), результат возведения в квадрат и последующего извлечения корня совпадает с модулем числа:

• Если a ≥ 0, то √(a²) = a (например, √(5²) = √25 = 5);

• Если a < 0, то √(a²) = -a = |a| (например, √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|!).

Обобщение на четную степень 2k:

a2k=∣ak∣\sqrt{a^{2k}} = |a^{k}|.

Если известно, что a ≥ 0, то модуль раскрывается со знаком плюс: |aᵏ| = aᵏ.

Пример важного упрощения:

Упростить выражение √( (√3 - 2)² ).

По формуле: √( (√3 - 2)² ) = |√3 - 2|.

Поскольку √3 ≈ 1.73 < 2, разность (√3 - 2) отрицательна. Модуль отрицательного числа раскрывается с противоположным знаком:

∣3−2∣=−(3−2)=2−3|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}.
√(a²) = |a|

Модуль обязателен

Корень убирает квадрат, но обязательно оставляет знак модуля для гарантии неотрицательности.
РАСКРЫТИЕ МОДУЛЯ

Оценка знака под модулем

Определите знак выражения внутри модуля перед его окончательным раскрытием.
Тождество с модулемЗабытый модуль
a2=∣a∣\sqrt{a^{2}} = |a|;
a2k=∣ak∣\sqrt{a^{2k}} = |a^{k}|;
∣a∣=aприa≥0,−aприa<0|a| = a \quad\text{при}\quad a \ge 0, -a \quad\text{при}\quad a < 0
одно из самых коварных мест на экзаменах ОГЭ/ЕНТ.
Забытый модуль
Запись √(a²) = a верна ТОЛЬКО при a ≥ 0! Для отрицательных чисел: √((-7)²) = |-7| = 7 (не -7!).
Раздел 4 из 5
4

Вынесение множителя из-под знака корня и внесение под корень

1. Вынесение множителя из-под знака корня:

Если подкоренное выражение содержит множитель, являющийся точным квадратом, его можно извлечь наружу:

√(a² · b) = |a| · √b = a · √b (при a ≥ 0, b ≥ 0).

Алгоритм: разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...).

Примеры:

• √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2;

• √108 = √(36 · 3) = √36 · √3 = 6√3;

• √(a⁵) = √(a⁴ · a) = a²√a (при a ≥ 0).

2. Внесение множителя под знак корня:

Операция, обратная вынесению:

• Для положительного множителя (a ≥ 0): a · √b = √(a² · b);

• Для отрицательного множителя (a < 0): знак минус оставляют СНАРУЖИ корня:

a⋅b=−∣a∣⋅b=−((−a2⋅b))a \cdot \sqrt{b} = -|a| \cdot \sqrt{b} = -(\sqrt{(-a}^{2} \cdot b)).

Пример: -3√2 = -√(3² · 2) = -√18 (но ни в коем случае не √((-3)² · 2) = √18, так как исходное число было отрицательным!).

ВЫНЕСЕНИЕ ИЗ КОРНЯ

√50 = 5√2

Уменьшает подкоренное число, облегчая приведение подобных корней.
ВНЕСЕНИЕ МИНУСА

-3√2 = -√18

Знак минус никогда не заносится под корень, оставаясь снаружи радикала.
Раздел 5 из 5
5

Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

В математике принято преобразовывать дроби так, чтобы в их знаменателях не оставалось знаков квадратных корней (иррациональности).

1. Случай 1: знаменатель содержит одиночный корень вида √b:

Числитель и знаменатель дроби домножают на √b (основное свойство дроби):

a/b=a⋅bb⋅b=abba / \sqrt{b} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}.

Пример: 6 / √3 = (6 · √3) / (√3 · √3) = 6√3 / 3 = 2√3.

2. Случай 2: знаменатель содержит двучлен (√a ± √b) или (a ± √b):

Числитель и знаменатель домножают на сопряженное выражение (выражение с противоположным знаком между членами), чтобы в знаменателе сработала формула разности квадратов (x - y)(x + y) = x² - y²:

ca−b=[c⋅(a+b)]/[(a−b)(a+b)]=[c⋅(a+b)]/(a−b)\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = [ c \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) ] / [ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) ] = [ c \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) ] / (a - b).

Пример: освободиться от иррациональности в дроби 2 / (√5 - 1).

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное (√5 + 1):

[ 2 · (√5 + 1) ] / [ (√5 - 1)(√5 + 1) ] = [ 2(√5 + 1) ] / ( (√5)² - 1² )

= [ 2(√5 + 1) ] / (5 - 1) = [ 2(√5 + 1) ] / 4 = (√5 + 1) / 2.

СОПРЯЖЕННЫЙ МНОЖИТЕЛЬ

(√a + √b)

Пара выражений с противоположным знаком в середине, дающая разность квадратов.
ОЧИСТКА ЗНАМЕНАТЕЛЯ

Рационализация

Переводит иррациональность из знаменателя в числитель дроби.
Сопряженные выраженияДомножение числителя
(a−b)⋅(a+b)=(a)2−(b)2=a−b(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2} = a - b
уничтожает любые корни в знаменателе за счет формулы разности квадратов.
Домножение числителя
Обязательно домножайте и числитель, и знаменатель на одно и то же сопряженное выражение!
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Арифметический квадратный корень:
a=b  ⟺  b2=a,b≥0\sqrt{a} = b \iff b^{2} = a, b \ge 0
Корень из квадрата (тождество с модулем):
a2=∣a∣\sqrt{a^{2}} = |a|
Корень из произведения и дроби:
a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
Дискриминант квадратного трехчлена:
D=b2−4acD = b^{2} - 4ac
Следующая тема

Квадратные уравнения: неполные уравнения и формула корней

Перейти к теме →