Квадратные уравнения: неполные уравнения и формула корней

Квадратные уравнения возникают при расчете траекторий тел в физике, площадей фигур в геометрии и оптимизационных задач в экономике.

Определение: квадратным уравнением называют уравнение вида:

где x — переменная, a, b и c — заданные действительные числа, причем старший коэффициент a строго не равен нулю (a ≠ 0).

Названия коэффициентов:

• a называют первым (старшим) коэффициентом (он стоит при x²);

• b называют вторым коэффициентом (он стоит при x);

• c называют свободным членом (число без переменной).

Приведенное квадратное уравнение:

Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен единице (a = 1). Обычно его записывают в виде:

где p = b/a, q = c/a.

Любое полное квадратное уравнение можно сделать приведенным, разделив обе его части на старший коэффициент a ≠ 0.

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные уравнения решаются без дискриминанта!

Три вида неполных квадратных уравнений:

1. Вид 1: c = 0 (уравнение ax² + bx = 0):

Метод решения: вынесение общего множителя x за скобки:

x · (ax + b) = 0 → x₁ = 0 или ax + b = 0 (x₂ = -b/a).

Такое уравнение ВСЕГДА имеет ровно два корня, один из которых обязательно равен нулю (x = 0)!

Пример: 3x² - 12x = 0 → 3x(x - 4) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 4.

2. Вид 2: b = 0 (уравнение ax² + c = 0):

Метод решения: перенос свободного члена вправо и деление на a: ax² = -c → x² = -c/a.

• Если (-c/a) > 0: уравнение имеет два противоположных корня: x = ±√(-c/a);

• Если (-c/a) < 0: действительных корней нет (квадрат числа не может быть отрицательным!);

Пример 1: 2x² - 18 = 0 → 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3;

Пример 2: x² + 25 = 0 → x² = -25 → корней нет (∅).

3. Вид 3: b = 0 и c = 0 (уравнение ax² = 0):

Единственный корень: x = 0 (двукратный корень).

Дискриминант (от лат. discriminare — различать, разделять) — числовая характеристика квадратного уравнения, определяющая количество и характер его корней.

Формула дискриминанта квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

Классификация числа корней в зависимости от знака D:

1. Случай 1 (D > 0 — положительный дискриминант):

Уравнение имеет ДВА различных действительных корня (парабола дважды пересекает ось Ox);

2. Случай 2 (D = 0 — нулевой дискриминант):

Уравнение имеет ОДИН действительный корень (или два совпадающих корня: x₁ = x₂ = -b / (2a)). Парабола касается оси Ox своей вершиной;

3. Случай 3 (D < 0 — отрицательный дискриминант):

Уравнение НЕ ИМЕЕТ действительных корней (парабола целиком лежит выше оси Ox при a > 0 или ниже оси Ox при a < 0, не пересекая ее).

Вывод формулы корней осуществляется методом выделения полного квадрата:

Умножим ax² + bx + c = 0 на 4a:

Если D ≥ 0, то 2ax + b = ±√D → 2ax = -b ± √D → x = (-b ± √D) / (2a).

Общая формула корней квадратного уравнения:

x₁,₂ = ( -b ± √D ) / ( 2 · a ), где D = b² - 4ac.

Формула для четного второго коэффициента (b = 2k):

Если второй коэффициент b является четным числом, удобнее использовать четверть дискриминанта D₁ = k² - ac:

x₁,₂ = ( -k ± √D₁ ) / a, где k = b/2, D₁ = D / 4.

Эта формула исключает громоздкие дроби и деление на 2a!

Биквадратным называют уравнение четвертой степени вида:

Метод введения новой переменной (метод замены):

1. Ввести замену: пусть x² = t, причем t обязательно неотрицательно (t ≥ 0, так как x² ≥ 0);

2. Исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно t:

3. Решить квадратное уравнение и найти корни t₁ и t₂;

4. Отсеять отрицательные значения t < 0 (они не дают действительных корней для x² = t);

5. Вернуться к переменной x, решив простейшие уравнения: x² = t (x = ±√t).

Биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 действительных корней!

Пример: решить x⁴ - 5x² + 4 = 0.

Замена x² = t (t ≥ 0): t² - 5t + 4 = 0.

По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 4 (оба корня подходят, так как положительны).

Обратная замена:

Ответ: 4 корня: x ∈ {-2; -1; 1; 2}.