ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Куб суммы и разности. Сумма и разность кубов. Способ группировки
Алгебра · 7 класс2 четвертьТема 5ГОСО РК 2026Базовый

Формулы сокращенного умножения: квадраты суммы, разности и разность квадратов

Формулы сокращенного умножения: квадраты суммы, разности и разность квадратов

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Квадрат суммы двух выражений: формула и геометрический смысл

Формула квадрата суммы двух выражений — одна из важнейших формул алгебры.

Вывод формулы:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2(a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.

Словесная формулировка:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения:

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.

Геометрический смысл (доказан Евклидом):

Площадь квадрата со стороной (a + b) равна сумме площадей двух квадратов (с площадями a² и b²) и двух равных прямоугольников (каждый с площадью ab): S = a² + 2ab + b².

Примеры применения:

1.(x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+91\text{.} (x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6x + 9;
2.(2a+5b)2=(2a)2+2⋅(2a)⋅(5b)+(5b)2=4a2+20ab+25b22\text{.} (2a + 5b)^{2} = (2a)^{2} + 2 \cdot (2a) \cdot (5b) + (5b)^{2} = 4a^{2} + 20ab + 25b^{2};

3. Быстрый счет: 102² = (100 + 2)² = 100² + 2 · 100 · 2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.

(a + b)²

a² + 2ab + b²

Квадрат первого + удвоенное произведение + квадрат второго.
ГЕОМЕТРИЯ ПЛОЩАДИ

Квадрат Евклида

Разбиение большого квадрата со стороной (a+b) на 4 части: два квадрата и два прямоугольника.
Квадрат суммыУдвоенное произведение
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
где a и b — любые числа или алгебраические выражения.
Удвоенное произведение
Главная ошибка школьников: (a + b)² ≠ a² + b²! Всегда обязательно присутствует удвоенное произведение +2ab!
Раздел 2 из 5
2

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности аналогична квадрату суммы, но содержит знак минус перед удвоенным произведением.

Вывод формулы:

(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = (a - b)(a - b) = a^{2} - ab - ba + b^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.

Словесная формулировка:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения:

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.

Обратите внимание: квадрат второго выражения (+b²) всегда имеет знак ПЛЮС, так как (-b)² = +b²!

Важное свойство квадрата разности:

(a−b)2=(b−a)2(a - b)^{2} = (b - a)^{2}.

Поскольку (-x)² = x², квадрат разности инвариантен к перестановке уменьшаемого и вычитаемого: (x - 5)² = (5 - x)².

Примеры:

1.(y−4)2=y2−2⋅y⋅4+42=y2−8y+161\text{.} (y - 4)^{2} = y^{2} - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2} = y^{2} - 8y + 16;
2.(3m−2n)2=(3m)2−2⋅(3m)⋅(2n)+(2n)2=9m2−12mn+4n22\text{.} (3m - 2n)^{2} = (3m)^{2} - 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^{2} = 9m^{2} - 12mn + 4n^{2};

3. Быстрый счет: 99² = (100 - 1)² = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.

(a - b)²

a² - 2ab + b²

Минус ставится исключительно перед удвоенным произведением 2ab.
(a - b)² = (b - a)²

Симметрия квадрата

Перестановка вычитаемого и уменьшаемого не изменяет значение квадрата.
Квадрат разностиЗнак перед b²
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2};
(a−b)2=(b−a)2(a - b)^{2} = (b - a)^{2}
где знак минус стоит ТОЛЬКО перед удвоенным произведением 2ab.
Знак перед b²
Знак перед b² ВСЕГДА плюс: (a - b)² = a² - 2ab + b² (не -b²!).
Раздел 3 из 5
3

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов — самая популярная и широко применяемая формула сокращенного умножения в математике.

Вывод формулы:

(a−b)(a+b)=a2+ab−ba−b2=a2−b2(a - b)(a + b) = a^{2} + ab - ba - b^{2} = a^{2} - b^{2}.

Словесная формулировка:

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений:

(a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}.

И наоборот (разложение на множители):

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму:

a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b).

Примеры разложения на множители:

1.x2−25=x2−52=(x−5)(x+5)1\text{.} x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5)(x + 5);
2.4a2−9b2=(2a)2−(3b)2=(2a−3b)(2a+3b)2\text{.} 4a^{2} - 9b^{2} = (2a)^{2} - (3b)^{2} = (2a - 3b)(2a + 3b);
3.1−16m4=(1−4m2)(1+4m2)=(1−2m)(1+2m)(1+4m2)3\text{.} 1 - 16m^{4} = (1 - 4m^{2})(1 + 4m^{2}) = (1 - 2m)(1 + 2m)(1 + 4m^{2}).

Применение в устном счете:

79⋅81=(80−1)(80+1)=802−12=6400−1=639979 \cdot 81 = (80 - 1)(80 + 1) = 80^{2} - 1^{2} = 6400 - 1 = 6399;
532−472=(53−47)(53+47)=6⋅100=60053^{2} - 47^{2} = (53 - 47)(53 + 47) = 6 \cdot 100 = 600.
a² - b²

(a - b)(a + b)

Разность квадратов мгновенно раскладывается на произведение разности и суммы.
БЫСТРЫЙ СЧЕТ

53² - 47² = 6 · 100

Позволяет вычислять разности огромных квадратов устно за 3 секунды.
Разность квадратовРазность квадратов ≠ Квадрат разности
a2−b2=(a−b)⋅(a+b)a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b);
(a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}
где a и b — любые выражения.
Разность квадратов ≠ Квадрат разности
Не путайте: a² - b² (разность квадратов) и (a - b)² = a² - 2ab + b² (квадрат разности) — это совершенно разные понятия!
Раздел 4 из 5
4

Разложение трехчлена на множители путем выделения полного квадрата

Формулы квадрата суммы и разности можно читать справа налево для сворачивания трехчлена в квадрат двучлена:

a2+2ab+b2=(a+b)2a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2};
a2−2ab+b2=(a−b)2a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}.

Критерий полного квадрата:

Трехчлен является полным квадратом, если крайние слагаемые представляют собой квадраты некоторых выражений, а среднее слагаемое в точности равно их удвоенному произведению.

Пример: x² + 10x + 25 = x² + 2 · x · 5 + 5² = (x + 5)².

Метод выделения полного квадрата двучлена:

Если трехчлен не является точным полным квадратом, его искусственно дополняют до квадрата, прибавляя и вычитая недостающее слагаемое.

Пример: x² + 6x + 5.

Для полного квадрата к x² + 2·x·3 не хватает 3² = 9. Запишем:

x2+6x+5=(x2+6x+9)−9+5=(x+3)2−4=(x+3)2−22x^{2} + 6x + 5 = (x^{2} + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4 = (x + 3)^{2} - 2^{2}.

Теперь применяем формулу разности квадратов:

((x+3)−2)((x+3)+2)=(x+1)(x+5)((x + 3) - 2)((x + 3) + 2) = (x + 1)(x + 5).
СВОРАЧИВАНИЕ

В квадрат двучлена

Превращение трехчлена a² ± 2ab + b² в компактный квадрат скобки (a ± b)²
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА

(x + d)² - c

Мощный метод высшей математики, используемый для нахождения экстремумов и корней.
Раздел 5 из 5
5

Упрощение сложных алгебраических выражений

Применение формул сокращенного умножения в комбинации со сложением и вычитанием многочленов позволяет решать громоздкие олимпиадные и экзаменационные примеры.

Алгоритм упрощения выражений:

1. Раскрыть квадраты сумм и разностей по формулам (a ± b)² = a² ± 2ab + b²;

2. Свернуть произведения разности и суммы по формуле (a - b)(a + b) = a² - b²;

3. Раскрыть внешние скобки с учетом знаков;

4. Привести подобные слагаемые.

Пример: упростить (2x + 1)² - (2x - 3)(2x + 3) - 4x.

1. Раскрываем (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1;

2. Сворачиваем (2x - 3)(2x + 3) = 4x² - 9;

3. Подставляем: (4x² + 4x + 1) - (4x² - 9) - 4x

= 4x² + 4x + 1 - 4x² + 9 - 4x

= (4x² - 4x²) + (4x - 4x) + (1 + 9) = 10.

Ответ: значение выражения при любом x тождественно равно 10!

ИНВАРИАНТ x

Значение = const

Во многих заданиях переменные взаимно уничтожаются, давая постоянное число.
КОМБИНАЦИЯ ФОРМУЛ

Шаг за шагом

Последовательное применение формул квадратов сводит сложные строки к одному числу.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул7 класс
Произведение степеней с одинаковым основанием:
am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}
Частное степеней с одинаковым основанием:
am/an=am−na^{m} / a^{n} = a^{m-n}
Возведение степени в степень:
(am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}
Степень произведения:
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}
Следующая тема

Куб суммы и разности. Сумма и разность кубов. Способ группировки

Перейти к теме →