Алгебра · 7 класс1 четвертьТема 2ГОСО РК 2026Базовый

Одночлены. Стандартный вид одночлена и арифметические действия

Время изучения~75 минтеория + практика

Разделы темы5 разд.пошаговый разбор

Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом

СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО

Раздел 1 из 5

Определение одночлена, числовой коэффициент и степень одночлена

Раздел 1 из 5

Одночлен — простейшее целое алгебраическое выражение.

Определение: одночленом называют алгебраическое выражение, представляющее собой произведение числовых множителей, переменных и их натуральных степеней:

Примеры одночленов: 5x, -3a²b³, 0.4x⁴y, -m, 12, c.

Отдельно взятое число, отдельная переменная или ее степень также считаются одночленами.

Выражения, содержащие сложение, вычитание или деление на переменную (например, x + y, a/b, 3 - x), НЕ являются одночленами!

Компоненты одночлена:

1. Числовой коэффициент: числовой сомножитель одночлена, записанного в стандартном виде. Если коэффициент равен 1, его обычно не пишут: 1x² = x²; если коэффициент равен -1, пишут только знак минус: -1ab = -ab;

2. Степень одночлена: сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например:

• Одночлен 7x³y⁴ имеет степень 3 + 4 = 7;

• Одночлен -2a²bc³ имеет степень 2 + 1 + 3 = 6 (у переменной b показатель равен 1!);

• Одночлен 5x имеет степень 1;

• Любое ненулевое число (например, 8) считается одночленом нулевой степени (так как 8 = 8x⁰);

• Число 0 называют нулевым одночленом, его степень не определена.

ОДНОЧЛЕН

Только умножение

Произведение чисел и буквенных степеней без операций сложения и вычитания.

СТЕПЕНЬ ОДНОЧЛЕНА

Сумма показателей

Сумма всех степеней буквенных переменных, входящих в состав одночлена.

Раздел 2 из 5

Приведение одночлена к стандартному виду

Раздел 2 из 5

Часто одночлен содержит несколько числовых сомножителей и повторяющиеся переменные, например: 3a² · (-2) · a · b³ · 4b.

Определение: стандартным видом одночлена называют такой вид, при котором:

1. На первом месте записан единственный числовой множитель (коэффициент);

2. За ним следуют буквенные сомножители различных переменных, записанные в алфавитном порядке в виде степеней.

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду:

1. Перемножить все числовые сомножители по правилам арифметики и записать полученный результат первым сомножителем;

2. Сгруппировать одинаковые переменные и применить свойство умножения степеней aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ;

3. Расставить переменные в алфавитном порядке.

Пример:

Преобразовать в стандартный вид: -2.5x²y · 4xy³ · (-0.5)z.

Перемножаем числа: (-2.5) · 4 · (-0.5) = +5.

Перемножаем x: x² · x = x³.

Перемножаем y: y · y³ = y⁴.

Переменная z остается: z.

Итоговый стандартный вид: 5x³y⁴z. Коэффициент равен 5, степень одночлена равна 3 + 4 + 1 = 8.

ЕДИНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ

Число на первом месте

Произведение всех чисел ставится строго в начале одночлена.

УПРОЩЕНИЕ БУКВ

xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ

Каждая буква должна встречаться в одночлене ровно один раз со своим суммарным показателем.

Стандартный видАлфавитный порядок

c \cdot x_{1}^(k_{1}) \cdot x_{2}^(k_{2}) \cdot \dots \cdot x_m^(k_m)

где c — числовой коэффициент, x_i — различные переменные в алфавитном порядке, k_i — натуральные степени.

Алфавитный порядок

Принято записывать буквы строго по алфавиту: 4ba²c записывают как 4a²bc.

Раздел 3 из 5

Сложение и вычитание подобных одночленов

Раздел 3 из 5

Определение: подобными одночленами называют одночлены, которые в стандартном виде имеют абсолютно одинаковую буквенную часть (или отличаются только коэффициентами).

Примеры подобных: 3a²b и -7a²b; 0.5xy и 4xy; -c³ и 8c³.

Одночлены 4a²b и 4ab² НЕ являются подобными, так как у них разные показатели степеней переменных a и b!

Правило приведения подобных одночленов:

Чтобы сложить (или вычесть) подобные одночлены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить абсолютно без изменения:

k_{1} \cdot M + k_{2} \cdot M = (k_{1} + k_{2}) \cdot M

Примеры:

1\text{.} 5x{}^{2}\text{y} + 3x{}^{2}\text{y} = (5 + 3)x{}^{2}\text{y} = 8x{}^{2}\text{y}

;

2\text{.} 7ab - 12ab = (7 - 12)ab = -5ab

;

3\text{.} 4m^{3} - m^{3} = (4 - 1)m^{3} = 3m^{3}

Если одночлены не являются подобными, сложить их в один одночлен невозможно: выражение 2x + 3y остается многочленом и не упрощается.

ПОДОБНЫЕ ЧЛЕНЫ

Одинаковые буквы

Одночлены с тождественно совпадающей буквенной частью и одинаковыми степенями.

СЛОЖЕНИЕ

Сумма коэффициентов

Складываются только числа перед буквами, сами буквы остаются неизменными.

Раздел 4 из 5

Умножение одночленов и возведение одночлена в натуральную степень

Раздел 4 из 5

1. Умножение одночленов:

Чтобы перемножить два или несколько одночленов, используют переместительное и сочетательное свойства умножения:

• Перемножают числовые коэффициенты;

• Перемножают степени одинаковых переменных (складывая их показатели);

• Приписывают переменные, входящие только в один из сомножителей.

Пример: перемножить (-3a³b²) · (4a²bc⁴):

(-3 \cdot 4) \cdot (a^{3} \cdot a^{2}) \cdot (b^{2} \cdot b) \cdot c^{4} = -12a{}^{5}\text{b}{}^{3}\text{c}^{4}

2. Возведение одночлена в натуральную степень:

Чтобы возвести одночлен в натуральную степень n, необходимо возвести в эту степень каждый множитель, входящий в одночлен (и числовой коэффициент, и каждую буквенную степень):

(c \cdot xᵃ \cdot yᵇ)^{n} = c^{n} \cdot (xᵃ)^{n} \cdot (yᵇ)^{n} = c^{n} \cdot xᵃ \cdot ^{n} \cdot yᵇ \cdot ^{n}

Примеры:

1\text{.} (2a{}^{3}\text{b})^{2} = 2^{2} \cdot (a^{3})^{2} \cdot b^{2} = 4a{}^{6}\text{b}^{2}

;

2\text{.} (-3x{}^{2}\text{y}^{4})^{3} = (-3)^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot (y^{4})^{3} = -27x{}^{6}\text{y}^{12}

;

3\text{.} (-a{}^{3}\text{b}^{2})^{4} = (-1)^{4} \cdot a^{12} \cdot b^{8} = +a{}^{12}\text{b}^{8}

УМНОЖЕНИЕ

Числа × Числа, Буквы × Буквы

Коэффициенты умножаются, показатели одинаковых букв складываются.

СТЕПЕНЬ (M)ⁿ

Каждый элемент в степень

Коэффициент и каждая переменная возводятся во внешнюю степень n.

Возведение одночлена в степеньЗнак отрицательного коэффициента

(c \cdot a^{k} \cdot b^{m})^{n} = c^{n} \cdot a^(k \cdot n) \cdot b^(m \cdot n)

где c — коэффициент, n — показатель степени.

Знак отрицательного коэффициента

Помните: (-2x)⁴ = +16x⁴, но (-2x)³ = -8x³!

Раздел 5 из 5

Деление одночлена на одночлен

Раздел 5 из 5

Деление одночлена A на одночлен B возможно тогда, когда делитель B не равен нулю, и в делителе нет переменных, отсутствующих в делимом, а степени переменных в делителе не превосходят степеней соответствующих переменных в делимом.

Алгоритм деления одночленов:

1. Разделить числовой коэффициент делимого на коэффициент делителя;

2. Разделить степени одинаковых переменных, вычитая показатели степеней aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ;

3. Записать результат в виде нового одночлена.

Примеры:

1\text{.} 12x{}^{5}\text{y}^{3} : (3x{}^{2}\text{y}) = (12 : 3) \cdot (x^{5} : x^{2}) \cdot (y^{3} : y) = 4x{}^{3}\text{y}^{2}

;

2\text{.} -20a{}^{4}\text{b}{}^{2}\text{c} : (5a{}^{4}\text{b}) = (-20 : 5) \cdot (a^{4} : a^{4}) \cdot (b^{2} : b) \cdot c = -4 \cdot 1 \cdot b \cdot c = -4bc

;

3. 15m²n : (3m⁴) = 5 / m² — результат не является одночленом, так как переменная оказалась в знаменателе (деление нацело невозможно в классе одночленов).

ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ

Вычитание показателей

Коэффициенты делятся, показатели одинаковых переменных вычитаются: m - n.

УСЛОВИЕ ДЕЛИМОСТИ

Показатели делителя ≤ делимого

Деление в классе одночленов выполнимо, только если степень делителя не больше делимого.

Ваш прогресс по теме25%

Прочитать конспект урокаИзучить ключевые понятияСдать проверочный тестРазобрать задачи к теме

Оглавление урока

1. Определение одночлена, числовой коэффициент и степень одночлена~5 мин
2. Приведение одночлена к стандартному виду~5 мин
3. Сложение и вычитание подобных одночленов~5 мин
4. Умножение одночленов и возведение одночлена в натуральную степень~5 мин
5. Деление одночлена на одночлен~5 мин

Шпаргалка формул7 класс

Произведение степеней с одинаковым основанием:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

Частное степеней с одинаковым основанием:

a^{m} / a^{n} = a^{m-n}

Возведение степени в степень:

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Степень произведения:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Следующая тема

Многочлены. Стандартный вид, сложение и вычитание многочленов

Перейти к теме →